Función Exponencial
En la naturaleza y en la vida social existen
numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal
sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o
en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las
sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración
para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.
Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición,
toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los
números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función
logarítmica, por cuanto se cumple que:
Si y solo si loga
b = x
Crecimiento
exponencial
La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la
variable es el tiempo.
En el crecimiento exponencial, cada valor de y se
obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a.
Donde k es el valor inicial (para t = 0), t es el tiempo transcurrido y a es el
factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.
Si 0 < a <1 se trata de un crecimiento
exponencial y si a > 0 decrece la
Aplicaciones:
La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento ( o disminución) en un pequeño
intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. Dentro de las aplicaciones mas usadas podemos
nombrar:
*Crecimiento de
*Interés del dinero
acumulado
*Desintegración radioactiva
Actividades
de la carpeta
1. Las bacterias son microorganismos unicelulares que se
reproducen asexualmente mediante un proceso llamado fisión binaria o
bipartición: cada bacteria se divide dando lugar a dos nuevas bacterias.
En un laboratorio estudian la evolución de cierta
bacteria y se han determinado que bajo ciertas condiciones las bipartición una
vez por minuto. Para iniciar el experimento consideraron aislar una única bacteria.
a) ¿Cuántas
bacterias habrá 2 minutos después de iniciado el experimento?
- Habra
4 bacterias
b) ¿
Cuantas habrá dos minutos mas tarde es decir a los 4 minutos después de
iniciado el experimento?
- Habra
16 bacterias
c) ¿Podrá encontrarse una función que describa este fenómeno?¿Cual sera su dominio?
- La función es
y su dominio son
los reales positivos
y su dominio son
los reales positivos
d)¿Cuántas
bacterias tendra el cultivo a los 15 minutos?
- 
bacterias
bacterias
e)¿Cuántas
bacterias habrá dos horas después de iniciado el experimento?
- 
bacterias
bacterias
f) f) ¿Cuánto
tiempo debera transcurrir para que la cantidad de bacterias supere las 100000?
- Log 2 100.000 = 16.6 minutos
2. El precio de
un auto usado disminuye con el tiempo de manera que cada año cuesta el 15% menos de lo que costaba el año anterior. Consideremos un auto que cuesta hoy
$50.000.
a)
¿Cuanto costara dentro de un año? ¿ Y dentro de
dos años?
b)
¿Cómo
sera la función cuya formula permite calcular el precio del auto en función del tiempo expresados en años? ¿ Cual sera su dominio?
c)
Si
un comprador tiene ahorrado $27.000
¿Cuánto tiempo deberá esperar para poder comprar ese auto?
a) Si el auto cuesta $50.000, en un año costará $42.500, y en dos años costará $36.125. Cada año, el auto cuesta el 15% menos que el año anterior.
b) La función cuya formula nos permite calcular el precio del auto es f(x) = p . 0,85^x. Donde p=precio del auto, y 0,85^x es el descuento (15%) que se hace al auto por cada año, x son los años.
c) Si el comprador tiene ahorrado $27.000 comprador tendrá que esperar aprox. 4 años.
Por ej: se puede resolver por tanteo. Si el auto en dos años costará 36.125, utilizamos la formula f(x)= 36.125 . 0,85^2 , y el resultado es 26,100.
Por lo tanto, el comprador tendrá que esperar aprox. 4 años para poder comprar ese auto.
Para saber cómo graficar una función exponencial, mirar el siguiente vídeo:
a) Si el auto cuesta $50.000, en un año costará $42.500, y en dos años costará $36.125. Cada año, el auto cuesta el 15% menos que el año anterior.
b) La función cuya formula nos permite calcular el precio del auto es f(x) = p . 0,85^x. Donde p=precio del auto, y 0,85^x es el descuento (15%) que se hace al auto por cada año, x son los años.
c) Si el comprador tiene ahorrado $27.000 comprador tendrá que esperar aprox. 4 años.
Por ej: se puede resolver por tanteo. Si el auto en dos años costará 36.125, utilizamos la formula f(x)= 36.125 . 0,85^2 , y el resultado es 26,100.
Por lo tanto, el comprador tendrá que esperar aprox. 4 años para poder comprar ese auto.
Para saber cómo graficar una función exponencial, mirar el siguiente vídeo:
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