Funciones Racionales

Una función racional f tiene la forma


donde g(x) y h (x) son funciones polinómicas

Para graficar estas funciones tenemos que seguir estos pasos
1- Encuentre el dominio de la función: el dominio de una función racional que lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

2- Encuentre las asintotas de la función racional, si las hay.







3- Dibuje las asintotas como rectas punteadas.

4- Encuentre la intersección en x y la intersección en y de la función racional, si las hay: para encontrar la intersección con el eje y reemplazo la x por 0 y para encontrar la interacción con el eje x reemplazo y por 0.

5- Encuentre los valores de y, y para varios valores diferentes de x . 

6- Grafique los puntos y dibuje una curva lisa que conecte los puntos. Asegúrese que la gráfica no cruce las asíntotas verticales

TRASLACIÓN VERTICAL

El centro de la hipérbola es: (0,a)

Si a>0, ,  se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0;3)

Si a<0,  , se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, -3)

TRASLACIÓN HORIZONTAL

El centro de la hipérbola es (-b,0)

Si b>0, , se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hipérbola es: (-3,0)

Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.

El centro de la hipérbola es: (3.0)

TRASLACIÓN OBLICUA

El centro de la hipérbola es: (-b , a)

El centro de la hipérbola es: (3,4)

Para representar hipérbolas del tipo:

Se divide y escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asintotas  paralelas a los ejes

El centro de la hipérbola es: (-1,3)

ACTIVIDADES DE LA CARPETA

1- Consideren las funciones:

a) Realicen en un mismo sistema de ejes cartesianos las graficas de las tres funciones. ¿Cual es el dominio de estas funciones?

f(x) = dom = R - (0)

f(x) = dom = R - (-4)

f(x) = dom = R - (-4)

B) Indiquen qué desplazamientos experimentan las graficas g y h con respecto a la gráfica de f. 

G(x) = su desplazamiento son 4 unidades hacia ↑.

H(x) = su desplazamiento son 4 unidades hacia ↑, y 5 unidades hacia ↓.

c) Determinen las asintotas de las funciones.

F(x) Asintota vertical X= 0 y asintota horizontal  Y= 0 

g(x) Asintota vertical X= -4 y asintota horizontal Y= -4

h(x) Asintota vertical X= -4 y asintota horizontal Y= -5

2- Grafiquen en un mismo sistemas de ejes cartesianos las siguientes funciones:

¿Que sucede con las gráficas a medida que aumenta el factor que multiplica a x?

El gráfico de se va agrandando cada vez mas y se acerca las asintotas.

Probabilidad

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado cuando se realiza un experimento aleatorio,osea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.

El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

Métodos de medición de Probabilidad

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. 
Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

 Probabilidad (A) = (Número de casos favorables)/(Número de casos posibles)

Ejemplo:
.

En este vídeo, se podrá ver un ejemplo de probabilidad con el lanzamiento de dados y monedas:

Funciones Trigonométricas

Una función trigonométrica se refiere al cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto sus ángulos. 

Si dividimos cateto opuesto / hipotenusa, llamaremos a esta función seno. 

Si dividimos cateto adyacente / hipotenusa, llamaremos a esta función coseno.

Si dividimos cateto opuesto / cateto adyacente, llamaremos a esta función tangente. 

Actividades de la carpeta 

1. En que cuadrante pertenece cada uno de los siguientes ángulos:

Cada cuadrante mide 90º.  Es positivo cuando 
esta generado en el sentido contrario al movimiento
 de las agujas del reloj, y es negativo cuando 
esta generado en sentido horario. 

* a1 =  300º    → cuarto cuadrante

* a2 = -200º   → segundo cuadrante

* a3 =  160º   → segundo cuadrante

* a4 =  760º   → primer cuadrante → en este caso, si un giro completo son 360º, hay que hacer dos giros (720º) + 40º, y por ende, el angulo se encuentra en el primer cuadrante.




2. Un angulo de un triangulo rectángulo mide 47º  y el cateto opuesto 8cm. Hallar la hipotenusa

Debido a los datos que tengo, para sacar la hipotenusa, tengo usar el seno.
                                                                                                                  
sen       = cateto opuesto / hipotenusa
sen 47 = 8 / x
    x       = 8 / sen 47
    x       = 10,93 → hipotenusa
                                                                                                                         
3. La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 26 cm y un angulo de 66º. Calcular los catetos.
En este problema, tenemos dos datos: la hipotenusa mide 26 cm, y el angulo mide 66º. Para poder sacar los dos catetos, tendremos que usar el seno y el coseno

   sen     = cateto opuesto / hipotenusa
sen 66º = cateto opuesto / 26 cm
sen 66º . 26 cm = cateto opuesto
           23,75 → cateto opuesto

    cos    = cateto adyacente / hipotenusa
cos 66º = cateto adyacente / 26 cm
cos 66º . 26 cm = cateto adyacente
         10,57 → cateto adyacente

4. En un triangulo rectángulo los catetos miden 15 y 8 cm. Hallar los ángulos agudos. En este problema, tenemos como dato los dos catetos, y tenemos que sacar los angulos agudos. Para eso, vamos a utlizar la tangente.

tg  = cateto opuesto / cateto adyacente
tg x = 8 / 15
tg x = 0,53
tg-1 0,53 = x
    27,92 → x

5. Expresa simbólicamente, en grados y radianes:

   a) el complemento de a.
   b) el suplemento de a.

   a) Los ángulos complementarios son ángulos cuyas medidas suman 90º. 
       En grados, el complemento de 'a' es 90º.
       En radianes, se expresa como π/2 = 'a.' 
   b) Los angulos suplementarios son angulos cuyas medidas suman 180º.
      En grados, el suplemento de 'a' es 180º.
      En radianes, se expresa como π= 'a'.


Para saber como graficar, mirar el siguiente vídeo:

Funciones exponenciales

Función Exponencial

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = a^x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

Si y solo si log_a b = x

Crecimiento exponencial

La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable es el tiempo.

En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a.

Donde k es el valor inicial (para  t = 0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.

Si 0 < a <1 se trata de un crecimiento exponencial y si a > 0 decrece la función.

Aplicaciones:

La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento ( o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo.  Dentro de las aplicaciones mas usadas podemos nombrar:

*Crecimiento de población

*Interés del dinero acumulado

 *Desintegración radioactiva

Actividades de la carpeta

1. Las bacterias son microorganismos unicelulares que se reproducen asexualmente mediante un proceso llamado fisión binaria o bipartición: cada bacteria se divide dando lugar a dos nuevas bacterias.

En un laboratorio estudian la evolución de cierta bacteria y se han determinado que bajo ciertas condiciones las bipartición una vez por minuto. Para iniciar el experimento consideraron aislar una única bacteria.

a) ¿Cuántas bacterias habrá 2 minutos después de iniciado el experimento?

- Habra 4 bacterias

b) ¿ Cuantas habrá dos minutos mas tarde es decir a los 4 minutos después de iniciado el experimento?

- Habra 16 bacterias

c) ¿Podrá encontrarse una función que describa este fenómeno?¿Cual sera su dominio?

-  La función esy su dominio son los reales positivos

d)¿Cuántas bacterias tendra el cultivo a los 15 minutos?

- bacterias

 e)¿Cuántas bacterias habrá dos horas después de iniciado el experimento?

- bacterias

f)       f) ¿Cuánto tiempo debera transcurrir para que la cantidad de bacterias supere las 100000?

            -   Log ₂  100.000 = 16.6 minutos

2. El precio de un auto usado disminuye con el tiempo de manera que cada año cuesta el 15% menos de lo que costaba el año anterior. Consideremos un auto que cuesta hoy $50.000.

a)      ¿Cuanto costara dentro de un año? ¿  Y dentro de dos años?

b)      ¿Cómo sera la función cuya formula permite calcular el precio del auto en función del tiempo expresados en años? ¿ Cual sera su dominio?

c)      Si un comprador tiene ahorrado  $27.000 ¿Cuánto tiempo deberá esperar para poder comprar ese auto?

a) Si el auto cuesta $50.000, en un año costará $42.500, y en dos años costará $36.125. Cada año, el auto cuesta el 15% menos que el año anterior.

b) La función cuya formula nos permite calcular el precio del auto es f(x) = p . 0,85^x. Donde p=precio del auto, y 0,85^x es el descuento (15%) que se hace al auto por cada año,  x son los años.

c) Si el comprador tiene ahorrado $27.000 comprador tendrá que esperar aprox. 4 años. 
Por ej: se puede resolver por tanteo. Si el auto en dos años costará 36.125, utilizamos la formula f(x)= 36.125 . 0,85^2 , y el resultado es 26,100. 

Por lo tanto, el comprador tendrá que esperar aprox. 4 años para poder comprar ese auto.

Para saber cómo graficar una función exponencial, mirar el siguiente vídeo:

Función Cuadrática. Función polinomica, canónica y factorizada.

A la función de segundo grado se denomina función cuadrática y su representación gráfica es una parábola.

Si  A es mayor a 0, las ramas van hacia arriba


Si A es menor que 0, las ramas van hacia abajo

¿Cómo se grafica?

Para graficar se debe calcular los elementos y luego graficar

 + Raíces de la parábola

+ Vértices

+ Eje de simetría x = x_v

+ Ordenada al origen F(0) = C, es el coeficiente c

Por ejemplo

En el siguiente vídeo,  mostremos un ejemplo a través de un ejercicio:

Estudio del discriminante

Al radicando se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces.

Para saber más sobre el estudio de las soluciones, y el discriminante, hacer click al siguiente vídeo:

FUNCIÓN POLINOMICA, CANÓNICA Y FACTORIZADA

La función cuadrática puede ser expresada de distintas formas:


Por ejemplo:

FORMA FACTORIZADA             FORMA POLINOMICA
F(x) = -0,5 (x+2) . (x+3)     →→→  F(x) = -0,5^2 . x^2 + 0,5. x + 3

FORMA CANÓNICA                    FORMA POLINOMICA
F(x)= 2. (x-3)^2 - 2            →→→   F(x) = 2.x^2+12x + 19

FORMA POLINOMICA               FORMA FACTORIZADA
F(x) = -x^2 + 2x + 3          →→→   F(x) = -1. (x+1) . (x-3)

FORMA POLINOMICA               FORMA CANÓNICA
F(x) = -2x^2 - 12x - 20      →→→  F(x) = -2 . (x+3)^2 +2